カラオケや補聴器のような音響システムでは、スピーカから出力した音が再びマイクへの入力としてフィードバックされることによる発振ハウリングが問題となります．

このハウリングを信号処理（適応フィルタ）によって除去する方法として、フィードバックキャンセラ（ハウリングキャンセラ）が知られています。

例えば、以下の書籍ではフィードバックキャンセラのC言語実装が掲載されています。

上記の書籍を参考に原理を整理しフィードバックキャンセラをPythonで実装してみましたので紹介します。

問題設定
数理モデル・変数
最適化
Python 実装
評価
まとめ
参考文献

問題設定

フィードバックキャンセラの系は以下のブロック図で表されます．

すなわち、外から入ってくる音 d(k) とフィードバック音 convolve(x(k), h) の混合信号 y(k) から、誤差信号のパワーが最小となるようなフィルタ w を(逐次)推定する問題となります．

数理モデル・変数

フィルタ更新式導出のため、数理モデルを変数を整理します。なお、ここでは簡単化のため x(k) のシステム遅延は無視します、

各時刻 k のマイク入力信号 d(k) は、以下のようになります。

h と x(k) 畳み込みをベクトル演算とするためのベクトル x(k) の作り方に注意してください。

誤差信号、すなわちマイク入力信号 d(k) と適応フィルタ信号の減算は以下のように表されます。

すなわち、この誤差信号 e(k) が小さくなるような適応フィルタ w を見つける問題となります．

最適化

誤差信号の二乗誤差（パワー）の期待値（時間平均）を最小化することを考えます。

期待値を取ると演算量が多くなることを考え、瞬時値を使って最急降下法で適応フィルタ w を更新します。これは LMS (Least mean square) アルゴリズムと呼ばれています。

ここで、入力信号が非定常の場合、e(k)x(k)のパワーが変動するので適切なステップサイズ ν を設定するのが難しくなります．そこで、入力信号のパワーの時間平均で割ることでスケールを調整するようなステップサイズ μ を利用します．

これが適応フィルタでよく利用されている正規化LMS (NLMS: Normalized LMS) アルゴリズムです．

詳細は参考文献をご覧ください。

Python 実装

全ソースコードは以下になります。

https://github.com/Kurene/audio-adaptive-filter/blob/main/feedback-cancellation.py

信号処理部だけ抜き出すと以下のようになっています。

なお、x(k) , x(k)はシステム遅延Mを考慮し、x(k-M), x(k-M)となっていることに注意してください。

for n in range(length):
    # フィードバック信号 x を生成
    if n >= latency:
        x[n] = gain * e[n-latency]
    else:
        x[n] = 0.0
    
    # 音響経路(スピーカ->マイク)の信号 xh と音源 d のマイク入力信号 y を生成
    xh[n:n+n_ir_coef] += x[n] * h # 実環境では h は未知
    y[n] = d[n] + xh[n] 
        
    # 疑似音響経路の信号 xw とマイク入力信号 y の混合信号 e を生成
    xw[n:n+n_ir_coef] += x[n] * w
    e[n]              = y[n] - xw[n]
    
    # 係数更新
    if n >= n_ir_coef:
        tmp_x_rev[:] = x[n-n_ir_coef:n][::-1]
    else:
        tmp_npad = n_ir_coef - n
        tmp_x_rev[:] = 0.0
        tmp_x_rev[0:tmp_npad] = x[0:tmp_npad][::-1]
        
    norm_x = np.sum(tmp_x_rev ** 2)
    
    if norm_x > 0.00001 and CANCELLING:
        w[:] = w + mu * e[n] * tmp_x_rev / (norm_x + beta)